*** Parachutiste en chute libre

Lorsqu'un parachutiste saute d'un avion, avant d'ouvrir son parachute, il est en chute libre. Durant cette période, le chuteur n'est soumis qu'à la gravité terrestre, mais subit une résistance de l'air qui est proportionnelle à sa vitesse. On considère que le mouvement du chuteur est vertical.

On note :

• \(v(t)\) la vitesse du chuteur à l'instant \(t\), en secondes ;
  
• \(\text{g}\approx 9,8\;\text{m}\cdot \text{s}^{-2}\) l'accélération due à la gravité. \(\text{g}\) est une constante ; 
  
• \(\text{k}=15 \ \text{kg}\cdot \text{s}^{-1}\) le coefficient de résistance à l'air du chuteur. \(\text{k}\) est une constante ; 
  
• \(m=80 \ \text{kg}\) la masse du chuteur.
  

La fonction \(v\), qui modélise la vitesse du chuteur à l'instant \(t\), est solution de l'équation différentielle \(\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}=g-\dfrac{k}{m}v\).

1. Résoudre l'équation différentielle avec la condition initiale `v(0)=0` (le chuteur saute avec une vitesse verticale nulle).
2. À l'aide du tableur suivant, déterminer :
    a. la vitesse du chuteur après \(10\) secondes de chute ;
    b. la vitesse du chuteur après \(20\) secondes de chute ;
    c. la vitesse du chuteur après \(30\) secondes de chute.
3. Dans cette modélisation, on parle de « vitesse limite de chute ». Expliquer cette expression dans le contexte étudié et estimer sa valeur. 

4. Pour aller plus loin
En moyenne, un chuteur ouvre son parachute lorsqu'il atteint une altitude de \(1\;500\) mètres.
On modélise la distance, en mètres, parcourue depuis le saut par la fonction \(y\). On rappelle que \(v(t)=\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t}(t)\).
Estimer après combien de secondes depuis le saut le chuteur ouvrira son parachute s'il a sauté de l'avion à \(4\;200\) mètres.